Дерево решений

Рейтинг честных брокеров бинарных опционов за 2020 год:
  • Бинариум
    Бинариум

    1 место! Золотой брокер бинарных опционов, лучший в странах СНГ! Идеальный вариант для новичков — предоставляется бесплатное обучение и демо счет. Заберите свой бонус за регистрацию:

Дерево решений — пример. Методы принятия решений

В большинстве случаев принятие решений может быть осуществлено молниеносно, базируясь на нашем опыте, как говорят, на глаз. Но иногда такой вариант не считается адекватным. И что делать в этом случае? Специально для этого умными людьми были разработаны методы принятия решений. Они позволяют постепенно и с минимальными отклонениями проработать алгоритм действий.

Общая информация

И наиболее интересующий нас момент – это метод дерева решений. Что он собой представляет? Где используется? Метод «Дерево решений» — это графическое изображение определенных действий и состояний окружающей среды, при которых указываются соответствующие вероятности и выигрыши для определенных комбинаций. Он используется для оценки рисков по проектам, когда инвестировать средства нужно на протяжении значительного временного отрезка. Причиной для его использования является наличие двух или больше последовательных множеств решений. Причем они должны вытекать из предыдущих и/или множеств состояний среды.

О формальной структуре

Какие элементы используются при создании? Это:

  1. Узел решения. Используется для характеристики момента выбора.
  2. Линия, представляющая альтернативу.
  3. Узел события. Используется для обозначения определенной случайности, которая имеет место быть.
  4. Линия, описывающая окружающую среду, которая является результатом непредвиденного события.
  5. Узел результата. Используется для обозначения итогов. Он связан с определенным состоянием окружающей среды и принятыми решениями.
  6. Узел для обозначения промежуточного результата. Нужен для обозначения ситуации, когда следует принимать еще одно решение.

Строительство

Как используется метод дерева решений на практике? Для формулировки разных сценариев развития необходимо обладать всею нужной и достоверной информации, в которой учитываются вероятности и время наступления определенных событий и результатов. Первоначально собираются данные. Для этого можно использовать такой алгоритм:

  1. Определяется состав и продолжительность фаз жизненного цикла;
  2. Предусматриваются ключевые события, что повлияют (или могут изменить) на дальнейшее развитие;
  3. Определяется время их наступления;
  4. Формулируются все возможные решения, что рассматриваются как варианты для ключевых событий;
  5. Определяется вероятность их принятия;
  6. Оценивается стоимость этапов в текущих ценах.

На полученных данных вполне успешно можно построить дерево решений. В нем будут узлы, которые рассматриваются как ключевые события. По сути, это точки принятия решения. Их соединяют ветви – то есть, определенные работы, что нацелены на достижение определенного результата. Построение дерева решений позволяет рассчитать вероятность для каждого выбранного сценария. Кроме этого, внимание уделяется и другим принципиально важным показателям, что необходимы для анализа рисков и принятия эффективных управленческих действий. Следует отметить, что обычно этот метод используется для проектов, у которых есть обозримое количество возможных вариантов. Ведь в ином случае схема становится слишком объемной, что затрудняет вычисление оптимального решения и подбор необходимых данных. Понимание того, как составить дерево решений, должно уже сформироваться. Давайте уделим внимание примерам.

Инвестиционные проекты

Лучше всего сможет пояснить дерево решений пример из жизни. Поэтому лучше с него, а не с абстрактной математики и начинать. Допустим, у нас есть на выбор три инвестиционных проекта. Обозначим их как ИП1, ИП2 и ИП3. Допустим, что для их осуществления необходимо вложить соответственно 200, 300 и 500 миллионов рублей. Ожидаемая прибыль составляет 100, 200 и 300 млн. р. При этом существует риск потерять средства. Вероятность такого сценария составляется 10%, 5% и 20% для каждого из вариантов. Что же лучше выбрать? Найти чисто математический ответ довольно сложно. А вот с использованием дерева решения эта задача значительно облегчается. Первоначально необходимо составить дерево решений инвестиционного проекта. После того как оно построено, начинаем его исследовать с помощью обратного анализа. Необходимо идти по рисунку справа налево. Попадая в кружочки, мы должны поставить в них математические значения ожидания выплат. В нашем случае результат будет выглядеть следующим образом:

  1. 100*0,9 – 200*0,1 = 70;
  2. 200*0,95 – 300*0,05 = 175;
  3. 300*0,8 – 500 *0,2 = 140.

Основываясь на расчетах, несложно заметить, что наиболее выгоден для нас ИП2. А теперь давайте углубимся в математику и рассмотрим немного абстрактные задачи на дерево решений.

Простейший пример

В данном случае у нас будет только два варианта – «нет» или «да». Или, говоря языком булевой логики, у нас будет 0 или 1. Понять такой пример дерева решений может быть сложно, поэтому мы и будем использовать «нет» или «да». Допустим, нам предлагают поработать за 160 рублей в час. Мы можем ответить «нет», и тогда ничего не изменится. Или скажем «да», и тогда, немного поработав, мы сможем почувствовать, как в нашем кармане стало тяжелей на 160 рублей. Можно немного усложнить модель, и в случае согласия добавить продолжение. Например – усердно работать? Если «да», то оплата 300 рублей, если «нет», то остаемся на все той же отметке в 160.

Рейтинг надежности бинарных брокеров (на русском языке):
  • Бинариум
    Бинариум

    1 место! Золотой брокер бинарных опционов, лучший в странах СНГ! Идеальный вариант для новичков — предоставляется бесплатное обучение и демо счет. Заберите свой бонус за регистрацию:

Проработка стратегии поведения в жизни

Многим может показаться, что пример дерева решений используется разве что для крупных инвестиций и абстрактных математических исследований. Но это не так. Можно, конечно, зазубрить теорию. А можно ее взять на вооружение и выиграть. И сейчас мы рассмотрим формулу, которую предложил Жан-Пол Гетги под названием «Как стать богатым». Она выражается кратко: «Вставай рано», «Работай усердно», «Найдешь нефть». Давайте займемся моделированием последовательности принимаемых решений:

  1. Нам необходимо выбрать между «Вставать рано» и «Спать допоздна». Это простейший выбор.
  2. Нам нужно выбрать между «Работать усердно» и «Спустя рукава». Это тоже простейший выбор.
  3. При этом событие «Найдена нефть» может произойти с определенной вероятностью. Ее величина зависит от последовательности принятых нами решений.

Если мы нашли нефть, то стали богатыми. Нет обнаруженных залежей – значит, есть только убытки, траты на поиск. А если спать допоздна и работать спустя рукава, то нефть можно даже не искать. Наиболее предпочтительный вариант – это «Вставать рано» и «Работать усердно».

Ищем нашу нефть

А теперь перейдем к расчетам. Рассматриваемый пример дерева решений лучше пояснить с помощью таблиц. Допустим, что мы работаем оптимально. Тогда наш вариант:

Встаем рано и работаем усердно

Прибыль (убыток) в рублях

Риск (=Прибыль (убыток) * Вероятность)

1 000 000 – 180 000 = 820 000

Как видите, самый выгодный вариант предлагает довольно неплохие перспективы. А можно ли с помощью таблицы рассмотреть этот пример полностью? Да, и это не так сложно, как может показаться на первый взгляд:

Вставать рано (длинный день)

Вероятность найти нефть (Н) = 10%

Неудача = (1-Н) = 90%

Ожидаемый результат: (0,1*10 000 000) + 0,9*(-200 000) = 820 000

(Н) = 5% Провал = (1-Н) = 95% Потенциальный выигрыш: (0,05*10 000 000) + 0,95*(-200 000) = 310 000

Работать с прохладой

(Н) = 1% Неудача = (1-Н) = 99% Ожидаемый результат: (0,01*10 000 000) + 0,99*(-200 000) = — 98 000

(Н) = 0% Провал = (1-Н) = 100% Потенциальный выигрыш: (0 *10 000 000) + 1*(-200 000) = — 200 000

Этот пример дерева решений демонстрирует нам наглядно, что залог успеха — в усердном труде. Размер рабочего дня может приблизить нас к цели стать богатым и увеличить размер состояния. Хотя, конечно, данные здесь довольно обобщены, но надеемся, что общий ход мыслей понятен.

Совершенствуем пример

Кто-то может возразить – ну ладно, дерево решений – это полезно. Но рассмотренные варианты уж слишком утрированы, а использовать их в реальной ситуации довольно проблематично. Это мнение имеет право существовать, но только для тех, кто не разобрался. Дерево решений можно довольно сильно усложнять и делать более гибким. Поэтому мы пример с нефтью немного доработаем. И на этот раз нам необходимо учесть окупаемость. Предположим, что средства на поиск нефти расходуются моментально. Если мы находим полезное ископаемое, то все вложения, что были сделаны в разведку, моментально окупятся. Доходы же будут поступать через два года. Как видите, у нас есть разбросанные на временном отрезке поступления и платежи. И нам необходимо привести все суммы к имеющимся деньгам. Предположим, что ставка дисконтирования составляет 20%, тогда наша формула для человека, работающего усердно и встающего рано, будет выглядеть следующим образом: (0,1*10 000 000) / 1,22 + 0,9(-200 000) = 514 444. По другим вариантам деятельности значения будут: 157 222, — 128 555 и – 200 000 рублей. Согласитесь, это уже более похоже на обоснование для проекта! Несмотря на то, что уровень доходов упал, вариант работать усердно и вставать рано все еще самый эффективный. Тогда как спать допоздна почти не привлекает. И какое принятие решений нам выгодно, как в жизни, так и в расчетах?

Пример для разминки

Предлагаем читателям закрепить полученные знания. Допустим, у нас есть ДОК. Он выпускает продукцию П1 в количестве 1 тысячи единиц. Руководитель ДОКа считает, что расширяется рынок для товара П2. Были проведены исследования, которые позволили установить предполагаемые варианты развития: П1мак = 1000; П1мин = 5000; П2мак = 8000; П2мин = 4000. Здесь мин и мак – это вероятность спроса на определенное количество товаров. То есть, тысячу П1 реализовать не проблема. А вот 5000 может оказаться не по силам. Вероятности возникновения спроса составляют: С1мак = 0,7; С1мин = 1-С1мак=0,3; С2мак = 0,6; С2мин = 1 – С2мак = 0,4. На единицу товара П1 получаем прибыль в размере 1 денежной единицы. Для П2 этот показатель равен 0,9. Но есть проблема – минимальный спрос по обоим товарам превышает существующие и доступные мощности ДОКа. Какие будут затраты (сейчас равны К) на их удвоение для параллельного производства в эквиваленте, если:

  1. затраты составляют К = 0,4*103 денежных единицы;
  2. эквивалентное количество П1 = 1000, а П2 = 900;
  3. максимальный и текущий спрос на П1 и П2 равняется соответственно: (К1мак = 2*103; К1мин = 1,4*103) и (К2мак = 1,2 * 103; К2мин = 0,8 *103).

И имея такие данные, необходимо определить, целесообразно ли заменять изготавливаемую продукцию и развивать мощности.

Решение задачи

Сложно своими силами разобраться? Что ж, небольшая подсказка – можно использовать алгоритм, который применялся в примере с нефтью. Для тех, кто не смог осилить это, будет написано решение. Первоначально устанавливаем последствия принимаемых нами решений для выпуска продукции одного вида (П1 или П2). Потом исследуем вариант с обоими. Для этого следует отбросить нерациональные действия по развитию мощностей и данные о возможном выигрыше выделяем отдельно в графу. Учитываем вероятность спроса и оцениваем среднюю эффективность в точках разветвления. Если подсчитать, то мы увидим, что при продолжительном выпуске продукции П1 она нам более выгодна при развитии мощностей и одновременном производстве, чем переход на одну П2. Хотя, это если минимальные ожидания. А что в случае максимального спроса? На этот случай нам необходимо нарисовать еще одну ветвь, которая будет рассматривать данный вариант решения. Для расчета его эффективности суммируем первый и второй вариант и вычитаем затраты на удвоение мощностей. И у нас выходит, что это наиболее выгодное решение. Как результат, мы приходим к выводу, что нужно развивать мощности и обеспечивать одновременный выпуск П1 и П2.

Поставленные цели

Вот что собой представляет дерево решений. Примеры решения задач по рискам позволяют понять данный метод и взять его на вооружение. Конечно, в первое время могут наблюдаться определенные трудности, но они успешно решаются практикой. В этом посильную помощь могут оказать книги по математике, эконометрике, кибернетике и ряде других дисциплин.

Возможность автоматизации

Методы принятия решений имеют четкую структуру. Поэтому с ними весьма легко могут работать компьютерные технологии. В качестве еще одного примера можно привести процесс выдачи кредита в банке. При этом для компьютера дерево решений представлено в виде логической конструкции «если … то …». Хотя, впрочем, она по такому принципу строится и для людей, но при взаимодействии с техникой необходимо концентрировать внимание именно на этом. Допустим, первый шаг – это вопрос о возрасте. Если человеку меньше сорока лет, то спрашивают об его образовании и заработной плате. Больше – есть ли дом. Ответ положительный – кредит выдаем. Отрицательный – спрашиваем про уровень доходов. Меньше 20 тысяч рублей в месяц – отказываем. Это делается быстро и оперативно.

Заключение

Если есть несколько моделей поведения и вариантов развития событий, то для поиска наилучшей ситуации лучше использовать дерево решений. Оно позволит выложить всю имеющуюся информацию и расчеты на бумаге и улучшить результативность принятия решений.

Алгоритм дерева принятия решений (Майкрософт)

Применимо к: SQL Server Analysis Services Azure Analysis Services Power BI Premium

Алгоритм дерева принятия решений ( Microsoft ) представляет собой алгоритм регрессии и классификации для использования в прогнозном моделировании дискретных и непрерывных атрибутов.

Для дискретных атрибутов алгоритм осуществляет прогнозирования на основе связи между входными столбцами в наборе данных. Он использует значения этих столбцов (известные как состояния) для прогнозирования состояний столбца, который обозначается как прогнозируемый. Алгоритм идентифицирует входные столбцы, которые коррелированы с прогнозируемым столбцом. Например, в сценарии для прогнозирования того, какие заказчики, скорее всего, приобретут велосипед, если девять из десяти молодых заказчиков покупают велосипед, но только двое из более старших заказчиков делают это, то алгоритм заключает, что возраст является хорошим прогнозом приобретения велосипеда. Дерево решений осуществляет прогнозирование на основе этой тенденции в направлении конкретного результата.

Для непрерывных атрибутов алгоритм использует линейную регрессию для определения места разбиения дерева решений.

Если несколько столбцов установлены как прогнозируемые или если входные данные содержат вложенную таблицу, которая задана как прогнозируемая, то алгоритм строит отдельное дерево решений для каждого прогнозируемого столбца

Пример

Отделу маркетинга компании Компания Adventure Works Cycles нужно идентифицировать характеристики предыдущих заказчиков, которые могут указывать на высокую вероятность приобретения этими заказчиками продукта в будущем. В базе данных AdventureWorks2020 хранятся демографические данные, описывающие предыдущих заказчиков. Используя алгоритм дерева принятия решений ( Microsoft ) для анализа этих данных, маркетинговый отдел может построить модель, которая прогнозирует, будет ли конкретный заказчик покупать продукты, на основании состояний известных столбцов, содержащих данные об этом заказчике, например демографические данные и сведения о покупках в прошлом.

Принцип работы алгоритма

Алгоритм дерева принятия решений ( Microsoft ) строит модель интеллектуального анализа данных путем создания ряда разбиений в дереве. Эти разбиения представлены как узлы. Алгоритм добавляет узел к модели каждый раз, когда выясняется, что входной столбец имеет значительную корреляцию с прогнозируемым столбцом. Способ, которым алгоритм определяет разбиение, отличается в зависимости от того, прогнозирует ли он непрерывный столбец или дискретный столбец.

Алгоритм дерева принятия решений ( Microsoft ) использует функцию выбора компонентов для выбора наиболее полезных атрибутов. Выбор компонентов используется всеми алгоритмами интеллектуального анализа данных служб SQL Server для увеличения производительности и качества анализа. Выбор компонентов играет важную роль в предотвращении использования процессорного времени малозначительными атрибутами. Если при разработке модели интеллектуального анализа данных в нее было добавлено слишком много входных или прогнозируемых атрибутов, то ее обработка может занять очень много времени или даже привести к нехватке памяти. В методы, определяющие необходимость в разбиении дерева, входят стандартные для отраслей метрики для энтропии и Байесовых сетей . Дополнительные сведения о методах, используемых для выбора полезных атрибутов, а затем для создания рейтингов и для ранжирования атрибутов, см. в разделе Выбор компонентов (интеллектуальный анализ данных).

Одной из часто встречающихся проблем в моделях интеллектуального анализа данных является чрезмерная чувствительность к небольшим различиям в обучающих данных; в таких случаях модель называется чрезмерно оснащенной или чрезмерно обученной. Чрезмерно оснащенную модель нельзя свести к другим наборам данных. Чтобы избежать появления лжевзаимосвязей в наборах данных, в алгоритме дерева принятия решений ( Microsoft ) используются методики контроля роста дерева. Более подробные сведения о том, как работает алгоритм дерева принятия решений ( Microsoft ), см. в статье Технический справочник по алгоритму дерева принятия решений (Майкрософт).

Прогнозирование дискретных столбцов

Способ, которым алгоритм дерева принятия решений ( Microsoft ) строит дерево для дискретного прогнозируемого столбца, можно продемонстрировать с использованием гистограммы. На следующей диаграмме показана гистограмма, на которой построен прогнозируемый столбец «Покупатели велосипедов» в сравнении с входным столбцом «Возраст». Гистограмма «Б» показывает, что возраст человека помогает определить, купит ли этот человек велосипед.

![Гистограмма от алгоритма дерева принятия решений (Майкрософт] ) (../../analysis-services/data-mining/media/dt-histogram.gif «Гистограмма от алгоритма дерева принятия решений (Майкрософт») )

Показанная на диаграмме корреляция приведет к тому, что алгоритм дерева принятия решений ( Microsoft ) создаст новый узел в модели.

Добавление алгоритмом новых узлов к модели приводит к созданию древовидной структуры. Верхний узел дерева описывает разбиение прогнозируемого столбца для всех заказчиков. При продолжении роста модели алгоритм рассматривает все столбцы.

Прогнозирование непрерывных столбцов

Когда алгоритм дерева принятия решений ( Microsoft ) строит дерево по непрерывному прогнозируемому столбцу, каждый узел содержит регрессионную формулу. Разбиение осуществляется в точке нелинейности в этой регрессионной формуле. Например, рассмотрим следующую диаграмму.

![Множественные линии регрессии, отображающие] нелинейность (../../analysis-services/data-mining/media/regression-tree1.gif «Множественные линии регрессии, отображающие») нелинейность

В стандартной модели регрессии обычно предпринимается попытка получить одну формулу, представляющую тенденции и связи для данных в целом. Однако отдельная формула может неудовлетворительно отражать неоднородность сложных данных. Вместо этого алгоритм дерева принятия решений ( Microsoft ) ищет практически линейные сегменты дерева и создает для них отдельные формулы. Разбиение данных на несколько сегментов обеспечивает гораздо более точное их приближение.

Следующая диаграмма представляет собой дерево для модели, представленной на точечной диаграмме выше. Для прогнозирования результата эта модель предоставляет две разных формулы: одну для левой ветви (y = 0,5x x 5) и одну для правой (y = 0,25x + 8,75). Точка соединения этих двух линий на точечной диаграмме является точкой нелинейности и представляет собой точку, в которой разобьется узел в модели дерева решений.

![Уравнение, представляющее точку] нелинейности (../../analysis-services/data-mining/media/regression-tree2.gif «Уравнение, представляющее точку») нелинейности

Это простая модель всего с двумя линейными уравнениями. Разбиение в дереве находится сразу после узла All (Все). Однако разбиение может произойти на любом уровне дерева. Это означает, что в дереве, содержащем несколько уровней и узлов, где каждый узел характеризуется отдельной коллекцией атрибутов, формула может совместно использоваться для нескольких узлов или применяться только к одному узлу. Например, можно получить одну формулу для узла, обозначенного как «возраст и доход клиентов», и другую для узла, представленного как «клиенты, которыми приходится ездить на большие расстояния». Чтобы просмотреть формулу для отдельного узла или сегмента, просто щелкните узел.

Данные, необходимые для моделей дерева принятия решений

При подготовке данных для использования в модели дерева принятия решений необходимо понимать требования определенных алгоритмов (например, необходимое количество данных и метод использования данных).

Далее приводятся требования для модели дерева принятия решений:

Единичный ключевой столбец Каждая модель должна содержать один числовой или текстовый столбец, который уникальным образом определяет каждую запись. Составные ключи не допускаются.

Прогнозируемый столбец Необходимо наличие по крайней мере одного прогнозируемого столбца. В модель можно включить несколько прогнозируемых атрибутов; они могут иметь различные типы (числовые или дискретные). Однако с увеличением количества прогнозируемых атрибутов увеличивается и время обработки.

Входные столбцы . Необходимо наличие входных столбцов, которые могут быть дискретными или непрерывными. Увеличение числа входных атрибутов влияет на время обработки.

Дополнительные сведения о типах содержимого и типах данных, поддерживаемых моделями дерева принятия решений, см. в разделе «Требования» статьи Технический справочник по алгоритму дерева принятия решений (Майкрософт).

Просмотр модели дерева принятия решений

Чтобы исследовать модель, можно использовать средство просмотра деревьев (Майкрософт) . Если в модели формируется несколько деревьев, то можно выделить одно из них, и средство просмотра отобразит разбиение категоризации вариантов для каждого прогнозируемого атрибута. Также можно осуществить просмотр взаимодействия между деревьями с помощью средства просмотра сети зависимостей. Дополнительные сведения см. в разделе Просмотр модели с помощью средства просмотра деревьев (Майкрософт).

Если необходимо получить более подробные сведения о любой ветке или узле в дереве, то модель также можно просматривать с помощью средства просмотра деревьев содержимого общего вида (Майкрософт). В модели хранится следующее содержимое: распространения для всех значений в каждом узле, вероятности на каждом уровне дерева и формулы регрессии для непрерывных атрибутов. Дополнительные сведения см. в разделе Содержимое моделей интеллектуального анализа данных для моделей дерева принятия решений (службы Analysis Services — интеллектуальный анализ данных).

Создание прогнозов

После обработки модели результаты хранятся в виде набора закономерностей и статистики, которые можно использовать для исследования связей или для выполнения прогнозов.

Примеры запросов, применимых в модели дерева принятия решений, см. в разделе Примеры запросов к модели дерева принятия решений.

Общие сведения о создании запросов к моделям интеллектуального анализа см. в разделе Запросы интеллектуального анализа данных.

Примечания

Поддерживается использование языка разметки прогнозирующих моделей (PMML) для создания моделей интеллектуального анализа данных.

Поддерживается использование моделей интеллектуального анализа OLAP и создание измерений интеллектуального анализа данных.

Метод дерева решений и другие методы на основе графов

Дерево решений и метод дерева решений

Метод дерева решений применяется в задачах классификации и прогнозирования, когда решения приходится принимать в условиях риска, неопределённости и исход событий зависит от вероятностей. На каждое решение влияют какие-то определённые факторы, и у каждого решения есть свои последствия, которым присущ вероятностный характер. В этих условиях процесс принятия решений является последовательным и метод дерева решений предполагает определять, какие действия следует предпринять в каждой вершине дерева.

Дерево решений — математическая модель, которая задаёт процесс принятия решений так, что будут отображены каждое возможное решение, предшествующие и последующие этим решениям события или другие решения и последствия каждого конечного решения.

Дерево решений состоит из следующих элементов: дуг, узлов решений, узлов событий и конечных узлов (исходов).

Рассмотрим сначала простейший пример применения метода дерева решений и решим следующую задачу.

Пример 1. Решить методом дерева решений, какую сумму вы потратите на продукты в определённый день.

Решение. Альтернативные события на первом этапе: гости придут и гости не придут. Отображаем эти события в дереве решений в виде вершин событий (кружочков). Примем, что, если гости придут, на продукты придётся потратить крупную сумму. Это один из исходов (конечных узлов в дереве решений) в данной задаче.

В случае, если гости не придут, возможны два альтернативных события: в доме много продуктов и в доме мало продуктов. Отображаем эти события в дереве решений в виде вершин событий (кружочков), к которым ведут дуги из события «гости не придут». В случае, если в доме много продуктов, вы потратите на продукты малую сумму. В случае, если в доме мало продуктов, вы потратите на продукты среднюю сумму.

Дерево решений для этой задачи будет следующим:

Но даже для этой только что рассмотренной задачи альтернативные события могут быть связаны с некоторыми вероятностями. В частности, вы можете по своему опыту или же от одного из возможных гостей знать вероятность того, что гости к вам придут. Предположим, вероятность этого события равна 0,3. Тогда от единицы отнимем 0,3 и получим 0,7 — вероятность того, что гости не придут. События, следующие из этого события также могут быть связаны с вероятностями.

Предположим вы находитесь не дома и не имеете возможности посмотреть в холодильник и кухонные шкафы. Или вообще, все эти события произойдут только через несколько дней. Но вы эксперт по своему домашнему хозяйству, а это значит, что вы перед походом в магазин уже оцениваете вероятности этих двух альтернативных событий. Предположим, вероятность того, что в доме много продуктов, равна 0,4. Тогда 1 — 0,4 = 0,6 — вероятность того, что в доме мало продуктов. Итак, имея оценки вероятностей альтернативных событий, мы решая ту или иную задачу методом дерева решений, можем прогнозировать исходы. Как это сделать, мы узнаем, когда рассмотрим второй пример.

Построение дерева решений

Продолжим двигаться к более сложным примерам. Определим дерево решений более подробно. Дерево решений строится в виде графа-дерева, обладающего следующими свойствами:

  • имеются вершины альтернативных решений, которые обычно отображаются в виде прямоугольников;
  • имеются вершины событий, которые обычно отображаются с помощью окружностей;
  • имеются вершины конечных решений (листья), которые обычно отображаются с помощью прямоугольников, имеющих другой цвет, чем вершины альтернативных решений;
  • вершина альтернативных решений вместе с дугами, выходящими из данной вершины, называется вилкой решений;
  • вершина событий вместе с дугами, выходящими из данной вершины, называется стохастической вилкой (стохастической — имеющей вероятностный характер, так как в процессе принятия решения учитываются вероятности каждого из событий);
  • каждой дуге вилки решений приписаны весы, которые характеризуют приобретения или убытки при реализации данного решения;
  • каждой дуге стохастической вилки приписываются весы, которые характеризуют вероятность соответствующего события, а также приобретения и убытки при реализации данного события.

Анализ дерева решений

При решении прикладных задач методом дерева решений поступают следующим образом:

  • на первом шаге проходят от начальной вершины к такой конечной вершине (листу), которой соответствует наибольшее приобретение, не учитывая при этом вероятности событий, предшествующих решениям;
  • на втором шаге учитывают вероятности событий, предшествующих решениям; приобретения на вершинах, отображающих конечные решения, рассчитывают с учётом вероятностей событий, предшествующих решениям.

Пример 2. Решить методом дерева решений задачу прогнозирования приобретений и убытков при альтернативах решений.

Строительная фирма собирается принять решение о строительстве жилого комплекса (ЖК) в элитном районе. Сначала требуется принять решение: проводить ли информационно-рекламную кампанию. Она стоит 500000 условных единиц (у.е.). Опыт показывает, что лишь в 25 % случаев этот шаг обеспечивает успех на рынке.

Если информационно-рекламная кампания успешна, требуется принять решение: строить ли большой или малый ЖК. Строительство малого ЖК обойдётся в 50000000, при этом можно построить 300 квартир. Строительство большого ЖК обойдётся в 200000000, при этом можно построить 900 квартир.

Имеются исследования прогноза спроса. Они показывают, что существует вероятность в 40 % того, что произойдёт падение спроса на элитное жильё.

По предварительным расчётам, средние цены на квартиры будут определяться следующим образом:

Большой ЖК Малый ЖК
Спрос снизится 100 000 150 000
Спрос не снизится 250 000 400 000

Рассчитано, что расходы фирмы перед и в период продажи всех квартир в ЖК составят 5000000, независимо от величины ЖК.

Требуется принять решение: проводить ли информационно-рекламную кампанию и начинать строительство ЖК.

Строим дерево решений:

Последствия альтернативных решений получены при расчётах, которые приведены ниже.

Шаг 1 (не учитываются вероятности событий).

Малый ЖК

Спрос не снизится

Доходы Расходы Прибыль
400000 * 300 = 120000000 50000000 + 5000000 = 55000000 120000000 — 55000000 = 65000000

Спрос снизится

Доходы Расходы Прибыль
150000 * 300 = 45000000 50000000 + 5000000 = 55000000 45000000 — 55000000 = -10000000

Большой ЖК

Спрос не снизится

Доходы Расходы Прибыль
250000 * 900 = 225000000 200000000 + 5000000 = 205000000 225000000 — 205000000 = 20000000

Спрос снизится

Доходы Расходы Прибыль
100000 * 900 = 90000000 200000000 + 5000000 = 205000000 90000000 — 205000000 = -115000000

Шаг 2 (учитываются вероятности событий).

На этом шаге прогнозируемые приобретения фирмы рассчитываются с учётом вероятности событий, предшествующих альтернативам решений.

Расходы
Малый ЖК 0,60 * 65000000 + 0,40 * (-10000000) = 35000000
Большой ЖК 0,60 * 20000000 + 0,40 * (-115000000) = -34000000

Теперь следует рассчитать приобретения при вершине 3 дерева решений (проводить информационно-рекламную кампанию). Для этого нужно рассчитать приобретения при вершинах 4 (неуспешная информационно-рекламная кампания) и 5 (успешная информационно-рекламная кампания).

Наступление события при вершине 5 (строительство ЖК) означает максимальную прибыль 35000000, которую только можно получить при выборе данного решения. Наступление события при вершине 4 (неуспешная информационно-рекламная кампания) означает убытки в 500000.

Теперь можно рассчитать приобретения при вершине 3 дерева решений (проводить информационно-рекламную кампанию): 0,25 * 35000000 + 0,75 * (-500000) = 8750000 — 375000 = 8375000.

В результате применения метода дерева решений выбирается следующая альтернатива: начать информационно-рекламную кампанию и готовиться к строительству ЖК, отдавая предпочтение малому ЖК.

Следует отметить, что на практике при выборе решения методом дерева решений в случае инвестиционных проектов строятся пессимистический и оптимистический прогнозы. Они отличаются соотношениями вероятностей благоприятного и неблагоприятного исходов событий. Для каждого исхода, таким образом, рассчитываются оптимистические и пессимистические значения.

Дерево игры

Дерево игры очень похоже на дерево решений.

Теория игр вообще занимается попыткой выразить особенности столкновения интересов через действия, которые имеют место в салонных играх. Правила любой салонной игры устанавливают последовательность вполне определённых ходов, причём каждый ход для данного игрока соответствует выбору одной из множества альтернатив.

В игре нужно учитывать все ходы, предшествующие данному ходу, и все возможные ходы, следующие за ним. Таким образом, значение каждого хода в игре зависит от других ходов. Если создать отвлечённое представление всех ходов игры и указать, какие выборы привели к каждому ходу, то можно узнать отвлечённую связь каждого хода со всеми другими ходами, которые повлияли на него или на которые он может повлиять.

Пример 3. В некоторой игре (на каком-то этапе партии) игроку 1 нужно выбрать между королём червей, двойкой пик и валетом бубен, а в другой игре игрок, также называемый игроком 1, должен выбрать между тем, чтобы пасовать, назначать игру или вистовать. В обоих случаях нужно выбрать между тремя альтернативами. Это можно представить на рисунке ниже.

Пример 4. Число, связанное с каждым ходом, указывает, какой игрок делает выбор на данном ходе. Следовательно, если имеется n игроков, то будут употребляться числа от 1 до n. Пусть n=4, тогда каждый ход, за исключением первого, назначается одному из игроков. Первому ходу приписывается обозначение «0». Ход с обозначением «0» является случайным ходом, как, например, тасовка карт перед партией покера. С каждым случайным ходом, который необязательно должен быть первым ходом, нужно связать распределение вероятностей или весов по нескольким альтернативным выборам. Если случайным ходом является бросание уравновешенной монеты, то в ходе имеются две альтернативы, и каждая из них может осуществиться с вероятностью 1/2.

Типы и принципы построения математических моделей в виде графов

Математические модели создаются с целью лучшего понимания изучаемого явления. Достаточно сложные системы невозможно анализировать без помощи упрощённых моделей. Исследование системы с перенесением его свойств на модель называется моделированием. Математическое моделирование позволяет абстрагироваться от физических и прочих специфических свойств объекта. Математическая модель — это упрощённое и самодостаточное в понятийном плане отображение реальности.

Определение 1. Математическая модель — задание системы или явления любого происхождения и любой природы в виде математических объектов и взаимосвязей.

Определение 2. Математическая модель — приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Любая математическая модель предполагает наличие объектов и взаимосвязей между ними.

Сформулируем основные принципы моделирования.

  1. Выбор модели существенно влияет на процесс решения задачи и на само решение.
  2. Степени детализации модели могут быть разными.
  3. Более подробная детализация означает бОльшую сложность модели.
  4. Лучшие модели — те, которые лучше отображают реальность.
  5. Желательно использовать одновременно несколько моделей.

Есть бесчисленное множество примеров, когда в явлении, системе или процессе усмотрели отношения в виде графа, реализовали математическую модель на основе этих отношений и эта реализация сделала анализ задачи и решение более эффективными. Приведём основные типы математических моделей в виде графов:

  • вершины и рёбра — физические объекты, объекты-рёбра физически связывают вершины;
  • вершины — физические или нефизические объекты, рёбра связывают вершины в зависимости от структурных или функциональных свойств вершин;
  • вершины — физические или нефизические объекты, возможно, в различных состояниях, зависящих от времени и развития, рёбра показывают временнУю, эволюционную или причинно-следственную связь между вершинами.

Есть два условия создания эффективной математической модели системы в виде графа:

  1. определены важнейшие подсистемы или состояния моделируемой системы, которые отображаются в виде вершин графа;
  2. определены важнейшие отношения между объектами-вершинами.

Чаще используются модели, в которых основную роль играют вершины графа, а не его рёбра.

Есть, однако, системы, для которых невозможно построить модели в виде графа. Обычно это системы, свойства которых непрерывны, например, атмосферные явления, потоки жидкостей и т.п. Таким образом, главное условие возможности построения модели в виде графа — дискретный (конечный, прерывный) характер системы, являения или процесса.

Системы со свойствами непрерывности целесообразнее моделировать с помощью уравнений математической физики.

Но и системы с дискретным характером не всегда уместно моделировать с помощью графов. Например, если цель решения задачи — оптимизация, то для этого больше подходит составление и решение задачи математического программирования, в частности, линейного программирования, не требующей анализа взаимосвязей между объектами.

Виды математических моделей в виде графа

Вместе с рассмотренными моделями дерева решений и дерева игры используются следующие математические модели в виде графа.

Самые лучшие платформы для торговли бинарными опционами:
  • Бинариум
    Бинариум

    1 место! Золотой брокер бинарных опционов, лучший в странах СНГ! Идеальный вариант для новичков — предоставляется бесплатное обучение и демо счет. Заберите свой бонус за регистрацию:

Добавить комментарий